| Dot product / produit scalaire |
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} ~~=~~ a_1 b_1 + a_2 b_2 \gray{+ ... +} a_n b_n
\]
|
| Norme / magnitude / longueur |
\[|| \vec{a} || ~~=~~ \sqrt{ \vec{a} \cdot \vec{a} } \]
|
|
| Vecteur normalisé |
\[ \hat{a} ~~=~~ \frac{\vec{a}}{|| \vec{a} ||} \]
|
|
| Angle entre deux vecteurs |
\[
\orange{\theta}
~~=~~
acos \left( \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{ ||\vec{a}|| ~ ||\vec{b}|| } \right)
~~;~~
\orange{\theta} \in [0, \pi]
\]
\[ \gray{
\delta ~~=~~
\theta \cdot \frac{a_x b_y - a_y b_x}{|a_x b_y - a_y b_x|}
~~;~~
\delta \in [-\pi, \pi]
~~;~~
\theta, \delta \in \mathbb{R}^2
}
\]
|
|
| Cross product / produit vectoriel |
\[
\blue{\vec{c}} =
\red{\vec{a}} \times \green{\vec{b}} =
\quad
\begin{pmatrix}
\red{a_y} \green{b_z} - \red{a_z} \green{b_y} \\
\red{a_z} \green{b_x} - \red{a_x} \green{b_z} \\
\red{a_x} \green{b_y} - \red{a_y} \green{b_x}
\end{pmatrix}
\quad
\begin{matrix}
\red{\vec{a}} \perp \blue{\vec{c}} \\
\green{\vec{b}} \perp \blue{\vec{c}}
\end{matrix}
\]
|
|
| Aire décrite par deux vecteurs |
\[ \orange{S} ~~=~~
|| \vec{a} \times \vec{b} ||
\]
|
|
| Produit Mixte |
\[ \begin{aligned}
& [ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} ] = [ \vec{b}, \vec{c}, \vec{a} ] = [ \vec{c}, \vec{a}, \vec{b} ]
\quad = \quad
( \vec{a} \times \vec{b} ) \cdot \vec{c}
\\[1em]
& \blue{ = \quad
- [ \vec{c}, \vec{b}, \vec{a} ] = - [ \vec{b}, \vec{a}, \vec{c} ] = - [ \vec{a}, \vec{c}, \vec{b} ]
}
\end{aligned} \]
|
|
|
Volume du parallélépipède* définit par \( a \), \( b \) et \( c \) dans \( \mathbb{R}^3 \)
*comme un bipède mais parallélépi
|
| Vecteur perpendiculaire au plan |
\[ \begin{aligned}
& \pi : \quad \orange{a}x + \orange{b}y + \orange{c}z + d = 0 \\[1em]
& \orange{\vec{t}} = \begin{pmatrix} \orange{a} \\ \orange{b} \\ \orange{c} \end{pmatrix}
\end{aligned} \]
|
|
| Intersection de deux plans |
\[
P + \lambda ( \vec{n_a} \times \vec{n_b}) \quad\quad
\begin{matrix}
P \in \pi_1 \\
P \in \pi_2
\end{matrix}
\]
|
|
| Equation de droite avec décalages |
\[d : \quad y = \text{pente} (x - \Delta x) + \Delta y \]
|
| Equation de droite passant par deux points |
\[d : \quad y = \frac{dy}{dx} (x - A_x) + A_y \]
|
|
| Perpendicularité 2D |
\[
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
\perp
\blue{ \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} }
\quad ; \quad
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
\perp
\orange{ \begin{pmatrix} y \\ -x \end{pmatrix} }
\]
|
|
| Régression |
\[
\tilde{x} = (A^T A)^{-1} A^T \vec{b} \\[1em]
\gray{\arg\min_{\vec{x}} \| A \vec{x} - \vec{b} \|^2} \\[1em]
\gray{
A = \begin{bmatrix} x_1 ~~ 1 \\ x_2 ~~ 1 \\ x_3 ~~ 1 \end{bmatrix} \quad
\vec{b} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} \\[1em]
A = \begin{bmatrix} {x_1}^2 ~~ x_1 ~~ 1 \\ {x_2}^2 ~~ x_2 ~~ 1 \\ {x_3}^2 ~~ x_3 ~~ 1 \end{bmatrix}
\quad
\vec{b} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} \\[1em]
A = \begin{bmatrix} x_i^{n-j} && ... \\ ... && ... \end{bmatrix} \quad
\vec{b} = \begin{bmatrix} y_i \\ ... \end{bmatrix}
}
\]
|
|
|
Projection \(\green{\vec{p}}\) d'un vecteur \(\orange{\vec{v}}\)
sur une droite \(\blue{d}\) contenant un point \(\blue{D}\)
|
|
\[
\green{\vec{p}} =
\orange{||\vec{v}||} \cos \theta ~ \blue{ \hat{d} }
\\[2em]
\gray{ =
|| \vec{v} ||
\frac{ \vec{v} \cdot \vec{d} }{ || \vec{v} || \cdot || \vec{d} || } ~
\frac{ \vec{d} }{ || \vec{d} || }
}
\\[2em]
= \frac{ \orange{\vec{v}} \cdot \blue{\vec{d}} }{ ||\blue{\vec{d}}||^2} ~ \blue{\vec{d}}
\]
|
|
Attention, \(\theta\) doit être signé.
\[ \theta \in [-\pi ; \pi]\]
Ainsi, on n'a jamais à se soucier de la direction de \(\orange{\vec{v}}\)
car \(\theta\) donne un négatif si l'angle est obtus,
"changeant" la direction de \(\blue{\hat{d}}\) dans la formule finale.
|
|
Projection \(\green{\vec{p}}\) d'un vecteur \(\orange{\vec{v}}\) sur
un plan \(\blue{\pi}\) de vecteur tangeant \(\blue{t}\)
|
|
\[
\green{\vec{p}} =
\orange{\vec{v}} -
\frac{ \orange{\vec{v}} \cdot \blue{\vec{t}} }{ ||\blue{\vec{t}}||^2} ~ \blue{\vec{t}}
\]
|
|
|
Distance \(\green{l}\) d'un point \(\orange{P}\) à
une droite \(\blue{d}\) contenant un point \(\blue{D}\)
|
|
\[
\green{l} =
\frac{|| \overrightarrow{\blue{D}\orange{P}} \cdot
\blue{\vec{d}}||}{||\blue{\vec{d}}||}
\]
|
\[ ... \] |
|
|
Distance \(\green{l}\) d'un point \(\orange{P}\)
à un plan \(\blue{\pi}\)
|
|
\( \blue{A} \in \blue{\pi} ~~;~~ \blue{t} \perp \blue{\pi} \)
|
\( \blue{\pi}\ = ax + by + cz + d = 0 \)
|
|
\[
\green{l} =
\frac{|| \overrightarrow{\blue{A}\orange{P}} \cdot
\blue{\vec{t}}||}{||\blue{\vec{t}}||}
\]
|
\[
\frac{ |\blue{a}\orange{P_x} + \blue{b}\orange{P_y} + \blue{c}\orange{P_z} + \blue{d}|
}{
\sqrt{ \blue{n_x}^2 + \blue{n_y}^2 + \blue{n_z}^2 }}
\]
|
|