Matrices

Définitions

matrice
élément
dimensions = 2 x 3
taille = 6

1 2 3
4 5 6

vecteur (ligne)


1 2 3

vecteur colonne


1
2
3

Types de matrices carrées

Matrice
triangulaire
supérieure

0
0 0

Matrice
triangulaire
inférieure

0 0
0

Matrice
diagonale

0 0
0 0
0 0

Matrice
identité

1 0 0
0 1 0
0 0 1

Matrice
nulle

0 0 0
0 0 0
0 0 0

Transposition

1 2 3
4 5 6
\[ \rightarrow \]
1 4
2 5
3 6

Algèbre matriciel

\[ \begin{aligned} & \text{Pour des matrices de même dimensions} \\ & \text{Pour } A^{-k} \text{ il faut que A soit inversible} \end{aligned} \]
\[ \text{Déterminant} \\ \Rightarrow \text{matrice carrée} \]
\[ A ~~ \otimes ~~ (B \otimes C) \quad = \quad (A \otimes B) ~~ \otimes ~~ C \]
\[ A + B = B + A \] \[ (A + B)^T = A^T + B^T \] \[ \]
\[ A B \neq B A \] \[ (AB)^T = B^TA^T \] \[ (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \] \[ |AB| = |A||B| \]
\[ \lambda A = A \lambda \] \[ (\lambda A)^T = \lambda A^T \] \[ |\lambda A| = \lambda^n |A| \] \[ |A| = |A^T| \]
\[ AI = IA = A \] \[ AA^{-1} = A^{-1}A = I \]
\[ (A^n)^m = A^{nm} \] \[ (A^T)^T = A \] \[ (A^k)^T = (A^T)^k \] \[ |A^k| = |A|^k \]
\[ A \text{ inversible } \Rightarrow \quad A^T \text{ inversible }, \quad \lambda A^k \text{ inversible } \]
\[ \begin{aligned} & L_x = L_y \quad \text{ou} \quad C_x = C_y \quad && \Rightarrow |A| = 0 \\[1em] & L_x = 0 \quad \text{ou} \quad C_x = 0 \quad && \Rightarrow |A| = 0 \\ & \text{matrice triangulaire} && \Rightarrow |A| = \prod_{k=1}^n a_{kk} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} & \text{opérations sur les lignes} \\[1em] & \lambda L_x && \Rightarrow && \lambda |A| \\ & L_x + k L_y && \Rightarrow && \lambda |A| \\ & L_x \Longleftrightarrow L_y && \Rightarrow && -|A| \end{aligned}\]
\[ \begin{aligned} & A^{-1} = \frac{1}{|A|}C^T \end{aligned} \]

Calcul de matrice inverse d'ordre 2

\[ A^{-1} = \left[ \begin{array}{c} a ~~ b \\ c ~~ d \end{array} \right] = \frac{1}{ad - bc} \left[ \begin{array}{c} d & -b \\ -c & a \end{array} \right] \]

Matrices inverses et système homogène

\[ \vec{b} = 0 \] \[ \vec{b} \neq 0 \]
\[ |A| = 0 \] \[ \infty \] \[ 0 ~ ou ~ \infty \] \[ \red{\sout{A^{-1}}} \]
\[ |A| \neq 0 \] \[ \vec{x} = 0 \] \[ \vec{x} = A^{-1}\vec{b} \] \[ A^{-1} \]
\[ homogène \] \[ inhomogène \]

Règle de Cramer

\[ \begin{aligned} & \text{Pour un système d'équation :} \\ & ax_1 + bx_2 + cx_3 = b_1 \\ & dx_1 + ex_2 + fx_3 = b_2 \\ & gx_1 + hx_2 + ix_3 = b_3 \\\\ & \text{on peut établir la multiplication de matrice :} \\ & \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix} \\\\ & \text{Soit :} \\ & M \vec{x} = \vec{b} \\\\ & \text{Solution avec la méthode de Cramer :} \\ & x_k = \frac{\left| A_k \right|}{\left| A \right|}, \quad \text{où} \quad A_k \text{ est la matrice } A \text{ dont la colonne } k \text{ a été remplacée par } \vec{b} \\\\ & x_1 = \frac{\left| \begin{matrix} b_1 & b & c \\ b_2 & e & f \\ b_3 & h & i \end{matrix} \right|}{\left| A \right|}, \quad x_2 = \frac{\left| \begin{matrix} a & b_1 & c \\ d & b_2 & f \\ g & b_3 & i \end{matrix} \right|}{\left| A \right|}, \quad x_3 = \frac{\left| \begin{matrix} a & b & b_1 \\ d & e & b_2 \\ g & h & b_3 \end{matrix} \right|}{\left| A \right|} \end{aligned} \]

Gauss-Jordan

Système d'équation de base
\[ \begin{aligned} a_1 x_1 && + && a_2 x_2 && + && ... && = && R_1 \\ b_1 x_1 && + && b_2 x_2 && + && ... && = && R_2 \\ ... && + && ... && + && ... && = && ... \\ \end{aligned} \]
Création des matrices utiles
\[ A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & ... \\ b_1 & b_2 & ... \\ ... & ... & ... \end{bmatrix} \]
\[ \overrightarrow{ix} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \end{bmatrix} \]
\[ \overrightarrow{b} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ ... \end{bmatrix} \]
Matrice augmentée
\[ \begin{aligned} & \overline{A} = [A ~ | ~ \overrightarrow{b}] \end{aligned} \]
\[ \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & ... & | & R_1 \\ b_1 & b_2 & ... & | & R_2 \\ ... & ... & ... & | & ... \\ \end{bmatrix} \]
  • Méthode :
    • échelonnement
    • réduction
  • Opérations :
    • \[ L_x \cdot x, ~~x \in \mathbb{R}^* \]
    • \[ L_x \cdot x \cdot L_y, ~~x \in \mathbb{R}^* \]
    • permuter lignes

Exemple de matrice échelonnée réduite :

\[ \begin{aligned} & \green{1 \text{ directeur}} \quad \orange{0 \text{ obligatoire}} \\ & \begin{bmatrix} \green{1} & \orange{0} & \frac{3}{5} & \orange{0} & | & 10 \\ \orange{0} & \green{1} & 3 & \orange{0} &| & 5 \\ \orange{0} & \orange{0} & \orange{0} & \green{1} & | & 3 \\ \end{bmatrix} \end{aligned} \]

Echelonnement - réduction

Formule de Laplace (matrices)

\[ \begin{aligned} & det(A) = |A| = \quad \sum_{i=1}^{n} (a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot |A_{\orange{\setminus i \setminus j}}| ) \\ \end{aligned} \]

Matrices de Relations

Exemple

\[ \begin{aligned} & A = \{ a,b,c \} \\[0.5em] & B = \{ x,y \} \\[0.5em] & R = \{ (b,x),(c,x),(c,y) \} \\[0.5em] & R \subseteq A \times B \end{aligned} \]
\[ R \] x y
a
b ✔
c ✔ ✔

Propriétés

Réflexivité

1
1
1
\[ aRa \]

Symétrie

● ▲
● ■
▲ ■
\[ aRb \Leftrightarrow bRa \]

Antisymétrie

● ▲
○ ■
△ □
\[ aRb \Leftrightarrow b\cancel{R}a \]

Transitivité

1 1 1
0 1 1
0 0 1
\[ R^2 \subseteq R \]

Ordre partiel

  • Réflexive
  • Symétrique
  • Antisymétrique
  • Transitive
  • Tous les éléments
    sont comparables

Ordre total

  • Réflexive
  • Symétrique
  • Antisymétrique
  • Transitive
  • Tous les éléments
    sont comparables

Equivalence

  • Réflexive
  • Symétrique
  • Antisymétrique
  • Transitive
  • Tous les éléments
    sont comparables
\[ [a]_R \;,\; [b]_R \]
Refl. Sym. Ant. Tran. Tout. exemple
classique
relation d'ordre total ✔ ✔ ✔ ✔ \[ \le \]
relation d'ordre partiel ✔ ✔ ✔ \[ \subseteq \]
relation d'équivalence ✔ ✔ ✔ ~ \[ = \]

Exemple de calcul de la transitivité

Vide = 0 (pour la lisibilité)
En blanc : cette valeur et aucune autre
Vide : n'importe quelle valeur
Forme pleine et même forme pleine = même valeur
Forme pleine et même forme vide = valeur opposée
En vert, cette valeur ou 0
En bleu, valeurs exemples

\[ \begin{aligned} & R^2 \subseteq R \end{aligned} \]
1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
\[ M(R) \\[0.5em] - \]
1
2 2
2 2
2 1
2 3 3 1
\[ M(R)^2 \\[0.5em] - \]
1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
\[ M(R^2) \\[0.5em] M(R \circ R) \]