Matrices

Algèbre matriciel

\[ \begin{aligned} & \begin{aligned} & A_{m \times n} + B_{m \times n} ~~;~~ A_{m \times n} - B_{m \times n} && m,n \in \mathbb{Z}^* \\[1em] & A_{m \times n} \times B_{n \times o} \gray{~~= A B} && m,n,o \in \mathbb{Z}^* \end{aligned} \\[1em] & AB \neq BA \\[1em] & M^{-1} ~~\Longleftrightarrow~~ |M| \neq 0 \quad;\quad \red{\frac{A}{B} \quad \text{non définit}} \\[1em] & |M| \neq 0 ~~\Longleftrightarrow~~ M, M^\top, M^k \text{ sont inversibles} \\[1em] & M M^{-1} = I \quad \gray{ = M^{-1} M \quad;\quad M_{n \times n}, ~~ I_{n \times n}, ~~ \left| M \right| \neq 0 } \end{aligned} \]

Egalités

\[ \begin{aligned} & \text{Les sympas} \\[1em] & (A + B)^\top = A^\top + B^\top \quad;\quad (\lambda A^\top) = \lambda A^\top \quad;\quad (M^\top)^k = (M^k)^\top \\[1em] & M^n M^m = M^{m+n} \quad;\quad (M^n)^m = M^{mn} \\[1em] & \left| M \right| \left| N \right| = \left| M N \right| \quad;\quad \left| M^k \right| = \left| M \right|^k \quad;\quad \left |M^\top \right| = \left| M \right| \quad;\quad \left| M^{-1} \right| = \left| M \right|^{-1} = \frac{1}{\left| M \right|} \gray{\quad \text{matrices carrées}} \\[2em] & \text{Les piégeuses} \\[1em] & (\orange{A}\blue{B})^\top = \blue{B}^\top \orange{A}^\top \quad;\quad (\orange{A}\blue{B})^{-1} = \blue{B}^{-1} \orange{A}^{-1} \\[1em] & \left| \lambda A \right| = \lambda^\orange{n} |A| \gray{\quad \text{matrices carrées de taille } n} \end{aligned} \]

Matrices carrées

Matrice carrée...
 
 
\[ \begin{bmatrix} \orange{\alpha} & \orange{\beta} & \orange{\dots} & \orange{\gamma} \\ \orange{\delta} & \orange{\epsilon} & \orange{\dots} & \orange{\zeta} \\ \orange{\vdots} & \orange{\vdots} & \orange{\ddots} & \orange{\vdots} \\ \orange{\eta} & \orange{\theta} & \orange{\dots} & \orange{\iota} \end{bmatrix} \]
...triangulaire
supérieure
\[ \begin{bmatrix} \orange{\alpha} & \orange{\beta} & \orange{\dots} & \orange{\gamma} \\ 0 & \orange{\epsilon} & \orange{\dots} & \orange{\zeta} \\ \vdots &\vdots & \orange{\ddots} & \orange{\vdots} \\ 0 & 0 & \dots & \orange{\iota} \end{bmatrix} \]
...triangulaire
inférieure
\[ \begin{bmatrix} \orange{\alpha} & 0 & \dots & 0 \\ \orange{\delta} & \orange{\epsilon} & \dots & 0 \\ \orange{\vdots} & \orange{\vdots} & \orange{\ddots} & \vdots \\ \orange{\eta} & \orange{\theta} & \orange{\dots} & \orange{\iota} \end{bmatrix} \]
...diagonale
 
\[ \begin{bmatrix} \orange{\alpha} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \orange{\epsilon} & \dots & 0 \\ \vdots &\vdots & \orange{\ddots} & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \orange{\iota} \end{bmatrix} \]
...identité
 
\[ \begin{bmatrix} \orange{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \orange{1} & \dots & 0 \\ \vdots &\vdots & \orange{\ddots} & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \orange{1} \end{bmatrix} \]

Déterminant (matrice carrée)

\[ \left| M \right| \quad=\quad \det (M) \quad=\quad \sum_{i=1}^{n} \left( a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot \left| M_{ij} \right| \right) \]

Le déterminant d'une matrice est la somme pondérée signée de certains de ses propres déterminants

\[ \sum_{i=1}^{n} \left( \orange{a_{1j}} \cdot \blue{(-1)^{i+1}} \cdot \green{\left| M_{1j} \right|} \right) \]

Exemple

\[ \left| \begin{array}{l} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array} \right| \quad=\quad a \left| \begin{array}{l} e & f \\ h & i \end{array} \right| ~~-~~ b \left| \begin{array}{l} d & f \\ g & i \end{array} \right| ~~+~~ c \left| \begin{array}{l} d & e \\ g & h \end{array} \right| \]

où

\[ \left| \begin{array}{l} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array} \right| \quad=\quad \alpha \delta - \beta \gamma \]

Formule utilisée ici VS formule générale

\[ \sum_{i=1}^{n} \left( a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot \left| M_{ij} \right| \right) \quad\quad\text{VS}\quad\quad \sum_{i=1}^{n} \left( a_{1j} \cdot (-1)^{i+1} \cdot \left| M_{ij} \right| \right) \]

La formule utilisée ici est plus simple et est une forme de la formule générale.
Elle est plus simple car elle prend toujours les mêmes couples scalaire-mineur et les signes sont simplement alternés en commençant par \( + \).

La formule générale permet de choisir les lignes et colonnes les plus simples pour les calculs.

Rappel utile : \( \left| M \right| = \left| M^\top \right| \)

Le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit des éléments de sa diagonale

\[ \left| \begin{array}{l} \orange{\alpha} & \orange{\beta} & \orange{\dots} & \orange{\gamma} \\ 0 & \orange{\epsilon} & \orange{\dots} & \orange{\zeta} \\ \vdots &\vdots & \orange{\ddots} & \orange{\vdots} \\ 0 & 0 & \dots & \orange{\iota} \end{array} \right| \quad=\quad \left| \begin{array}{l} \orange{\alpha} & 0 & \dots & 0 \\ \orange{\delta} & \orange{\epsilon} & \dots & 0 \\ \orange{\vdots} & \orange{\vdots} & \orange{\ddots} & \vdots \\ \orange{\eta} & \orange{\theta} & \orange{\dots} & \orange{\iota} \end{array} \right| \quad=\quad \prod_{i=1}^n M_{ii} \quad=\quad \orange{\alpha \cdot \epsilon \cdot \ldots \cdot \iota} \]

Mineur

Le mineur est le déterminent d'une sous-matrice.

\[ M = \begin{bmatrix} \orange{a} & b & c \\ d & \blue{e} & \blue{f} \\ g & \blue{h} & \blue{i} \end{bmatrix} \quad;\quad \orange{ \text{élément } c_{11} = a } \quad;\quad \blue{ \text{mineur } M_{11} = \left| \begin{array}{l} e & f \\ h & i \end{array} \right| } \]

Cofacteur

Le cofacteur le mineur signé.

\[ c = (-1)^{i+j} \left| M_{ij} \right| \]

Matrice inverse

\[ M^{-1} = \frac{1}{|M|}C^\top \]

Avec la matrice des cofacteurs \( C \), la matrice des signes \( S \) et la matrice des mineurs \( N \).

\[ \begin{aligned} & C = S \odot N \\[1em] & S = \left( (-1)^{i+j} \right)_{\substack{1 \le i \le n \\ 1 \le j \le n}} \\[1em] & N = (\left| M_{ij} \right|)_{\substack{1 \le i \le n \\ 1 \le j \le n}} \end{aligned} \]

Matrice de taille 2

\[ \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right]^{-1} \quad=\quad \frac{1}{ad - bc} \left[ \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right] \]

Règle de Cramer

\[ \begin{aligned} & \begin{aligned} & M \times \mathbf{x} = \blue{\mathbf{b}} \quad\Longleftrightarrow\quad & \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \blue{ \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix} } \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} & ax_1 + bx_2 + cx_3 = \blue{b_1} \\ & dx_1 + ex_2 + fx_3 = \blue{b_2} \\ & gx_1 + hx_2 + ix_3 = \blue{b_3} \end{cases} \end{aligned} \\[3em] & \begin{aligned} & x_k = \frac{\left| A_k \right|}{\left| A \right|} \quad;\quad x_1 = \frac{\left| \begin{matrix} \blue{b_1} & b & c \\ \blue{b_2} & e & f \\ \blue{b_3} & h & i \end{matrix} \right|}{\left| A \right|}, \quad x_2 = \frac{\left| \begin{matrix} a & \blue{b_1} & c \\ d & \blue{b_2} & f \\ g & \blue{b_3} & i \end{matrix} \right|}{\left| A \right|}, \quad x_3 = \frac{\left| \begin{matrix} a & b & \blue{b_1} \\ d & e & \blue{b_2} \\ g & h & \blue{b_3} \end{matrix} \right|}{\left| A \right|} \end{aligned} \end{aligned} \]
homogène inhomogène
\[ \mathbf{b} = \mathbf{0} \] \[ \mathbf{b} \neq \mathbf{0} \]
\[ |A| \neq 0 \] \[ \mathbf{x} = \mathbf{0} \] \[ \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} \]
\[ |A| = 0 \] \[ \infty \] \[ 0 ~ ou ~ \infty \]

Gauss-Jordan

Système d'équation :     \( M \times \mathbf{x} = \mathbf{b} \\[0.5em] \) Matrice augmentée :     \( \overline{M} = [M ~ | ~ \mathbf{b}] \)

Procédure

1. Matrice augmentée (forme générale)
augmented matrix (general form)
\[ \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 & 4 & | & 7 \\[.5em] 4 & 2 & -1 & 3 & | & 5 \\[.5em] -2 & 3 & 4 & 1 & | & -2 \\[.5em] 6 & -4 & 2 & 5 & | & 11 \end{bmatrix} \]
2. Matrice échelonnée
row echelon matrix
\[ \begin{bmatrix} \blue{3} & 2 & -1 & 5 & | & 8 \\[.5em] \orange{0} & \blue{4} & 3 & -2 & | & 6 \\[.5em] \orange{0} & \orange{0} & \blue{2} & 7 & | & -3 \\[.5em] \orange{0} & \orange{0} & \orange{0} & \blue{5} & | & 10 \end{bmatrix} \]
3. Matrice échelonnée normalisée
normalized row echelon matrix
\[ \begin{bmatrix} \green{1} & 2/3 & -1/3 & 5/3 & | & 8/3 \\[.5em] \orange{0} & \green{1} & 3/4 & -1/2 & | & 3/2 \\[.5em] \orange{0} & \orange{0} & \green{1} & 7/2 & | & -3/2 \\[.5em] \orange{0} & \orange{0} & \orange{0} & \green{1} & | & 2 \end{bmatrix} \]
4. Matrice échelonnée réduite (forme canonique)
reduced row echelon matrix (canonical form)
\[ \begin{bmatrix} \green{1} & \orange{0} & \orange{0} & \orange{0} & | & 3 \\[.5em] \orange{0} & \green{1} & \orange{0} & \orange{0} & | & -1 \\[.5em] \orange{0} & \orange{0} & \green{1} & \orange{0} & | & 5 \\[.5em] \orange{0} & \orange{0} & \orange{0} & \green{1} & | & 2 \end{bmatrix} \]
     

Note programmation

En Gauss-Jordan, à chaque étape on divise par le pivot (l'élément diagonal). Si ce pivot est très petit, on divise par un quasi-zéro → les valeurs explosent (erreurs d'arrondi flottant énormes).

La technique pour éviter ça s'appelle le pivotage partiel (ou pivot partiel) :

Il y a aussi le pivotage total (ou pivot complet) : on cherche le plus grand élément dans toute la sous-matrice restante (lignes ET colonnes), encore plus stable mais plus coûteux.

Aller plus loin :

Matrices de Relations

Exemple

\[ \begin{aligned} & A = \{ a,b,c \} \\[0.5em] & B = \{ x,y \} \\[0.5em] & R = \{ (b,x),(c,x),(c,y) \} \\[0.5em] & R \subseteq A \times B \end{aligned} \]
\[ R \] x y
a
b ✔
c ✔ ✔

Propriétés

Réflexivité

1
1
1
\[ aRa \]

Symétrie

● ▲
● ■
▲ ■
\[ aRb \Leftrightarrow bRa \]

Antisymétrie

● ▲
○ ■
△ □
\[ aRb \Leftrightarrow b\cancel{R}a \]

Transitivité

1 1 1
0 1 1
0 0 1
\[ R^2 \subseteq R \]

Ordre partiel

  • Réflexive
  • Symétrique
  • Antisymétrique
  • Transitive
  • Tous les éléments
    sont comparables

Ordre total

  • Réflexive
  • Symétrique
  • Antisymétrique
  • Transitive
  • Tous les éléments
    sont comparables

Equivalence

  • Réflexive
  • Symétrique
  • Antisymétrique
  • Transitive
  • Tous les éléments
    sont comparables
\[ [a]_R \;,\; [b]_R \]
Refl. Sym. Ant. Tran. Tout. exemple
classique
relation d'ordre total ✔ ✔ ✔ ✔ \[ \le \]
relation d'ordre partiel ✔ ✔ ✔ \[ \subseteq \]
relation d'équivalence ✔ ✔ ✔ ~ \[ = \]

Exemple de calcul de la transitivité

Vide = 0 (pour la lisibilité)
En blanc : cette valeur et aucune autre
Vide : n'importe quelle valeur
Forme pleine et même forme pleine = même valeur
Forme pleine et même forme vide = valeur opposée
En vert, cette valeur ou 0
En bleu, valeurs exemples

\[ \begin{aligned} & R^2 \subseteq R \end{aligned} \]
1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
\[ M(R) \\[0.5em] - \]
1
2 2
2 2
2 1
2 3 3 1
\[ M(R)^2 \\[0.5em] - \]
1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
\[ M(R^2) \\[0.5em] M(R \circ R) \]