Restrictions

\[ \begin{aligned} & \begin{aligned} & A + B ~~;~~ A - B && \quad\Longleftrightarrow\quad A_{dim} = B_{dim} \\[.5em] & A \times B \gray{~~= A B} && \quad\Longleftrightarrow\quad A_{n ~ row} = B_{n ~ col} \end{aligned} \\[1em] & \red{\frac{A}{B}} \quad \text{non définit} \quad;\quad A \times B^{-1} \quad \text{définit si } \quad |B| \neq 0 \\[1em] & \begin{aligned} & A + (B + C) \quad=\quad (A + B) + C \\[.5em] & A \times (B \times C) \quad=\quad (A \times B) \times C \\[.5em] & A + B = B + A \\[.5em] & \orange{A \times B \neq B\times A} \\[.5em] \end{aligned} \\[1em] & |M| \neq 0 ~~\Longleftrightarrow~~ M, M^T, M^k \text{ sont inversibles} \end{aligned} \]

Distributivité

\[ \begin{aligned} & \begin{aligned} & \green{(A + B)^T = A^T + B^T} \quad;\quad \green{(\lambda A^T) = \lambda A^T} \\[.5em] & \orange{(AB)^T = B^T A^T} \quad;\quad \orange{(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}} \quad;\quad \orange{(M^T)^k = (M^k)^T} \quad;\quad \orange{(M^n)^m = M^{mn}} \end{aligned} \\[.5em] & M M^{-1} = M^{-1} M = I \end{aligned} \]

Déterminant

\[ \begin{aligned} & k \in \mathbb{N} \quad\not\Leftrightarrow\quad A^{-1} \text{ existe } \quad\Leftrightarrow\quad k \in \mathbb{Z} \\[2em] & \green{|AB| = |A| |B|} \\[.5em] & \orange{|\lambda A| = \lambda^n |A|} \\[.5em] & \green{|M^k| = |M|^k} \quad;\quad \green{|M^T| = |M|} \quad;\quad \green{|M^{-1}| = |M|^{-1} = \frac{1}{|M|}} \end{aligned} \]

Calcul du déterminant

Seulement définit pour des matrices carrées \[ \begin{aligned} & 2 \times 2 : \quad\quad && \left| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} \right| \quad=\quad ad - bc \\[2em] & 3 \times 3 : \quad\quad && \left| \begin{array}{l} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array} \right| \quad=\quad a \left| \begin{array}{l} e & i \\ f & h \end{array} \right| - b \left| \begin{array}{l} d & i \\ f & g \end{array} \right| + c \left| \begin{array}{l} d & h \\ e & g \end{array} \right| \\[3em] & n \times n : \quad\quad && |M| \quad=\quad \sum_{i=1}^{n} \left( a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot |M_{\orange{\setminus i \setminus j}}| \right) \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} & |M| = \prod_{i=1}^n M_{ii} \end{aligned} \]

Lien avec le cross product

\[ \vec{u} = \vec{v} \times \vec{w} \quad\Rightarrow\quad M = \begin{bmatrix} \vec{u}^T \\ \vec{v}^T \\ \vec{w}^T \end{bmatrix} \\[2em] \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d \\ e \\ f \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} g \\ h \\ i \end{pmatrix} \quad;\quad M = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \\[2em] a = \left| \begin{array}{l} e & i \\ f & h \end{array} \right| \quad;\quad b = - \left| \begin{array}{l} d & i \\ f & g \end{array} \right| \quad;\quad c = \left| \begin{array}{l} d & h \\ e & g \end{array} \right| \]

Calcul de matrice inverse

\[ M^{-1} = \left[ \begin{array}{c} a ~~ b \\ c ~~ d \end{array} \right] = \frac{1}{ad - bc} \left[ \begin{array}{c} d & -b \\ -c & a \end{array} \right] \] \[ M^{-1} = \frac{1}{|M|}C^T \\[2em] C \quad\rightarrow\quad c_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot |M_{\setminus i \setminus j}| \]

Règle de Cramer

	\[ \vec{b} = 0 \]	\[ \vec{b} \neq 0 \]
\[ |A| = 0 \]	\[ \infty \]	\[ 0 ~ ou ~ \infty \]	\[ \red{\sout{A^{-1}}} \]
\[ |A| \neq 0 \]	\[ \vec{x} = 0 \]	\[ \vec{x} = A^{-1}\vec{b} \]	\[ A^{-1} \]
	homogène	inhomogène

Gauss-Jordan

\[ M \times \vec{x} = \vec{b} \] Matrice augmentée

M[ROW][COL]

echelonnement()
    for( i in ROW )
        max = findAbsMaxInCol( M , i )        // permutation
        swap( M[i] , M[max] )    
        for( j in i to COL )                  // normalisation
            M[i][j] /= M[i][i]
        for( j in i+1 to ROW )                // subtraction
            for( k in i to COL )
                M[j][k] -= M[i][k] * M[j][i]

reduction()
    for( i in ROW to 1 )
        for( j in i-1 to 1 )
            for( k in COL )
                M[j][k] -= M[i][k] * M[j][i]

Exemples

1. Matrice augmentée (forme générale) 2. Matrice échelonnée 3. Matrice échelonnée factorisée (pivots = 1) 4. Matrice échelonnée réduite (forme canonique)

Vide = 0 (pour la lisibilité)
En blanc : cette valeur et aucune autre
Vide : n'importe quelle valeur
Forme pleine et même forme pleine = même valeur
Forme pleine et même forme vide = valeur opposée
En vert, cette valeur ou 0
En bleu, valeurs exemples